平面 x+y+z=0 的几何特征

基本判断#

$x + y + z = 0$

这是一个三元一次方程，根据教材第八章第三节（平面及其方程）：

任一三元一次方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 都表示一个平面

所以 $x + y + z = 0$ 是一个平面。

几何特征分析#

与坐标轴、坐标面的关系#

直观图形#

1
        z
2
        |
3
        |   /
4
        |  /
5
        | /  平面 x+y+z=0
6
        |/________
7
       /|\        y
8
      / | \
9
     /  |  \
10
    /   |   \
11
   x    |

形象描述：

• 像一把”刀”从原点出发，斜着切过三个坐标轴的正方向
• 将空间分成两个部分：
  • $x+y+z > 0$ 的一侧（如点 $(1,1,1)$）
  • $x+y+z < 0$ 的一侧（如点 $(-1,-1,-1)$）

与原题的联系#

在原题中，$x+y+z=0$ 作为准线所在的平面：

关键：由于平面过原点（球心），所以截得的圆是半径为1的大圆，圆心就在原点。

对比：如果平面不过原点#

例如 $x + y + z = 1$：

• 法向量仍为 $(1,1,1)$
• 但 $D=1 \neq 0$，不过原点
• 与坐标轴交于 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$
• 截球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 得到的是小圆

总结#

如需进一步了解平面的一般方程、点到平面的距离或两平面的夹角，可以继续提问！